有a只杯口朝上的茶杯，每次翻动其中的b只，是否可以经过有限次翻动使全部杯子杯口朝下？

此题目除了a是奇数、b是偶数时达不到目的以外，都可以经过若干次翻动使全部杯子杯口朝下。当然，翻动的次数越少越好，我们将翻动的最少次数记为c，当a能被b整除时，显然c=a÷b。除此之外，我们分三种情况来讨论翻动的最少次数c。

（一）a、b都是奇数时，c为使b×c＞a的最小奇数。

例1、有13只杯口朝上的茶杯，每次翻动其中的5只，需3次就可全部翻过去。3为使5×3＞13的最小奇数。

（二）a、b都是偶数，当a＜2b时，c=3；当a＞2b时，c为使b×c＞a的最小自然数。

例2、有10只杯口朝上的杯子，每次翻动其中的6只，需3次可使全部杯子杯口朝下。

例3、有18只杯口朝上的杯子，每次翻动其中的4只，需5次可使全部杯子杯口朝下。

（三）a为偶数、b为奇数。

（1）当a＞2b时，c为使b×c＞a的最小偶数。

例4、有8只杯口朝上的杯子，每次翻动其中的3只，需4次可使全部杯子杯口朝下。

上面的（一）、（二）、（三）（1）几种情况（见例1~4），具体翻法是：首先从左边翻动b只杯子，以后从左至右依次翻动，当右边剩下的杯口朝上的杯子数为偶数，且小于2b时，即例1~4中标明“偶半”的前一步，还需再翻动两次，第一次翻动右边杯口朝上杯子的一半（因为杯口朝上的杯子数的偶数，且翻动一半，这就是“偶半”的含义），不足部分由左边补，此时杯口朝上的杯子数恰好是b只，再翻一次即可。

（2）当 a＜2b时，c与a－b有关。将a÷（a－b）的最大偶数商记为|a÷（a－b）|，例如a=10，b=7，则|a÷（a－b）|=2。如果a能被a－b整除，则c=a÷（a－b）；如果a不能被a－b整除，则c=|a÷（a－b）|+2。

例5、有12只杯口朝上的杯子，每次翻动其中的9只，因为12能被12－9整除，所以需4次可便杯口全部朝下。

例6、有10只杯口朝上的杯子，每次翻动其中的7只，因为|10÷（10－7）|+2=4，所以需4次可使杯口全部朝下。

例5、例6中，第一次翻完后，剩下的杯口朝上的杯子数是奇数，第二次将它们全部翻过来（这就是“奇全”的含义），不足部分由左边补，此时杯口朝上的杯子数的偶数了，只需用前面讲过的“偶半”的方法再翻两次即可。总之，利用“奇全偶半”法翻茶杯的方法是：看朝上的茶杯，

奇数全翻朝下补，（朝上的是奇数时全翻，如不够用朝下的补）

偶数取半朝下补。（朝上的偶数时翻一半，如不够用朝下的补）

李老师

（发表在北京竞赛数学研究所与北京师范大学联合创办的《小学数学奥林匹克》94年第1期创刊号上）