某类计数问题的解析

例：7个相同的小球放入4个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，一共有多少种情况？

分析：因为小球是相同的，所以小球之间没有区别，四个盒子可以看成A、B、C、D。

解法一：每个盒子至少要放一个小球，所以我们可以先在4个盒子里每个盒子先放一个小球，这样就能先满足题目要求，这时候我们只要考虑剩下的3个小球什么放了，把3个相同的小球放到4个不同的盒子里，用数学的方法就是把3分拆成4个自然数之和。

3=3+0+0+0   此拆法对应4种放法，只要把3个小球确定放在哪个盒子，剩下的3个盒子都是放0个小球。3个小球可以放在A也可以放在B或者C和D。所以有4种方法。

3=2+1+0+0。从4个盒子里先取出2个来放2和1。需要考虑顺序，可以这样想一下，先取的盒子放2，后取的盒子放1，所以需要考虑顺序，剩下的2个盒子放2个0，没有影响。所以有 =12种。

3=1+1+1+0，此拆法和第一类类似，只要考虑0的位置即可，同理有4种放法。

把3拆成4个数之和没有其它拆法了，分拆的时候按照从大到小或者从小到的原则。

所以答案为：4+12+4=20种。

此种方法是在先满足题目前提下进行分拆计数，要是直接把7拆成4个数之和的话，每个数都必须不小于1，不过要拆的数越大，分拆起来就越困难。，所以我们先满足题目条件每个盒子分先一个，这样能使分拆的数之和减小一些。注意，每个盒子先分了一个后，满足了题目条件，所以分拆出来的数最小可以为0了。

解法二：我们无外就是要把7分拆成4个数之和，且每个数都不能小于1。

首先可以把7=1+1+1+1+1+1+1，可是这样是7个数相加，有6个加号，我们需要的是4个数相加，也就是只要3个加号。那我们可以尝试着把其中一些加号去掉，由6个加号变成3个加号，比如说：去掉前面3个加号，则可以写成7=4+1+1+1，需要去掉3个，那么一共有多少种去法呢？肯定是从6个中任意取3个去掉，那么关键问题是排列还是组合呢？我们可以这样设想，去掉3个加号得到的4个数字就是按顺序对应着A、B、C、D四个盒子，假设去的前面3个加号，不管怎么改变顺序，去掉的都是这3个加号，得到的都是7=4+1+1+1，所以和顺序无关，是个组合问题 =20种。

练习：三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目。如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种？

方法一：提示：14－3×3＝5 关键还是看5分拆成3个数之和。

方法二：我们还是想把数字分拆成1的形式，不过现在每个学校至少要演出3个节目，所以我们可以先每个学校分2个节目，这样剩下14—3×2＝8，这时候考虑8=1+1+1+1+1+1+1+1，需要把8分拆成3个数之和，7个加号只需要保留2个，或者考虑去掉5个。

答案：21种。