图55的30个格子中各有一个数字， 最上面一横行和最左面一竖列的数字已经填好，其余每个格子中的数字等于同一横行最左面数字与同一竖到最上面数字之和（例如a=14＋17＝31）。问这30个数字的总和等于多少？

　　［解法]从题目的填数规则，我们知道，与12同一行的六个格子中都有12这个数，因此总和数中有六个12相加。与14同一行的六个格子中都有14这个数，所以总和数中有六个14这个数。同样，与16同一行，与18同一行的格子中，分别都有六个16，六个18，也就是说，从行看总和中有六个12，六个14，六个16，六个18.它们的和是6×（12＋14＋16＋18）

　　再从列看，与11同一列的五个格子中都有11这个数。所以在总和数中有五个11这个救。同样分析，总和数中有五个13，五个15，五个17，五个19，它们之和是：

　　5×（11＋13＋15＋17＋19）

　　方格子中还有一个数10，此外，没有别的数了。所以

　　总和数=6×（12＋14＋16＋18）＋5×

　　（11＋13＋17＋19）＋10

　　＝ 745

　　［分析与讨论]这道题，有的同学按填数规则把每个格于上的数都填出来，然后用硬加的办法求出总和数。这样做法个可取，因为如果行数列数很大时，这样做的计算最大，硬加就很困难。因此应该采用巧算法。本题还有其它的巧算法，这里就不再叙述了。

　　另外需要提醒的是，不少问学思路是正确的，但忘了加10这个数。同学们不要轻视这种疏忽。

　　本题求一些数的和，在表现形式上是有新意的，平时同学们常做的求和问题，多数是求一串数的和，而本题是求一个表上所有数字之和。这种填着数的表格在工农业和科学试验上是常用的。

　　平行四边形ABCD周长为75厘米， 以BC为底时高是14厘米（图57）；以CD为底时高是16厘米。求：平行四边形ABCD的面积。

　　[解法]平行四边形的面积=底×高

　　所以，平行四边形ABCD的面积S=BC×14，

　　S=280（平方厘米）

　　答：平行四边形ABCD的面积是280平方厘米。

　　［分析与讨论] 本题是求面积问题，解法很多。问学们可以试试其它解法再和上面的解法比较一下，看看哪种方法最简便？

　　同一个问题，可以从不同角把它看成不同的数学问题，比如本题可以看成求面积问题，也可以看成“工程问题。这种能力的培养也是非常重要的。

　　一段路程分成上坡、平路、下坡三段。各段路程长之比依次是1∶2∶3 三人走各段路所用时间之比次依是4∶5∶6。已知他上坡时速度为每小时3公里.路程全长50公里。问此人走完全程用了多少时间？

　　［解法]

　　上坡时间是（上坡路程）÷（上坡的速度）

　　所以，全程时间

　　[分析与讨论]这是一道比例题。比例问题在代数和几何中都很重要。在小学算术课本中也有不少比例问题，主要是搞清楚部分与整体的关系。在进一步学习过程中，同学们会不断得到有关知识与技能。

　　小玲有两种不同形状的纸板。一种是正方形的，一种是长方形的（图58）。正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2。她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒（图59）。正好将纸板用完，在小玲所做的纸盒中、竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？

　　[解法1] 设竖式盒总数：横式盒总数=X∶1

　　长方形纸板数量=（4X＋3）×（横式盒的总数） ；正方形纸板数量=（X＋2）×（横式盒的总数）。所以4X＋3=2×（X＋ 2）

　　答：竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是1∶2。

　　[解法2]如果把无盖纸盒都加上了盖子。那么，无论盒是竖式的还是横式的，在加盖以后都用了两块正方形纸板四块长方形纸板。因此，加盖以后所用的正方形纸板总数长方形纸板总数之比是2∶4=1∶2。而在加盖以前所用正方形纸板总数与长方形纸板总数之比恰好也是1∶2。由此可见，所加的盖子中正方形的比是1∶2，因为竖式的盖子是正方形的，而横式盒的盖子是长方形的。所以在小玲所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是1∶2。

　　[分析与讨论] 注意，“解法2”是对于比数是1∶2这个特定条件下的一种特殊解法，它不具普遍性。比如，如果正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶3，那么答案就是3∶1。

　　请同学们算一算，如果正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是N∶M，那么答案是什么？请自己分析讨论一下。

　　在工业生产中，常常遇到这样一类问题，原材料的来源是按一定的配比给定了，要用这些材料生产各种类型的产品。这时有最佳安排问题。安排不好就会造成材料的浪费。学了小学的数学知识就可以解决一些这类问题中最简单的问题。

　　在一根长木棍上，有三种刻度线、第一种刻度线将木棍分成十等份；第于种将木棍分成十二等份；第三仲将木棍分成十五等份。如果沿每条刻度先将木的锯断，木棍总共被锯成多少段？

　　[解法]求出（10，12，15）的最小公倍数，它是60。把这根木棍的

　　10等分的每等分长6个单位。12等分的每等分长5单位；15等分的每等分长4单位。

　　不计木的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9，11，14（相应于10，12，15等分），共计34个。

　　由于5，6的最小 公倍数为30，所以10与12等分的内分点在30单位处处相重，必须从34中减。

　　又由于4，5的最小公倍数为20，所以12与15等分的内分点在20童位和40童位两个相重，必须再减去2。

　　同样，6，4的最小公倍数为12，所以15与10等分的内分点在12，24，26；48童位处相重，必须再减去4。

　　由于这些相重点，各不相同，所以从34个内分点中减去1，再减去2，再减去4，得27小刻度点，沿这些刻度点把木棍锯成28段。

　　答：木棍总共被锯成28段。

　　[分析与讨论]本题还有许多解法。不少同学把木棍长看成1个单位， 那么等分点将是一批分数，分析起来不如这里父段。

[分析与讨论]本题还有许多解法。不少同学把木棍长看成1个单位，那么等分点将是一批分数，分析起来不如这里给出的解法清楚，因此计数多有错。也有一些同学列出全部等分点，计算繁琐，也未必能做对，所以巧算是很重要的。

　　已知：

　　问：a的整数部分是多少？

　　[解法］

　　现在我们来看a的第二项的分母，一方面

　　11×65+12×66+13×67+14×68+15×69＜11×69+12×69

　　+13×69+14×69+15×69

　　另一方面

　　11×65+12×66+13×67+14×68+15×69＞11×65+12×65

　　+13×65＋14×65+15×65

　　由于一个正的分数，分母变小分数变大，分母变大分数变小。所以

　　即

　　同样分析可得，

　　也就是

　　所以 a的整数部分是101。

　　答：a的整数部分是101。

　　[分析与讨论]这是一道估值问题。估值问题不论在纯数学上还是在应用数学上都很重要。

　　估值问题在小学生中很少受到训练。但同学们在日常生活中，经常会遇到一些这类问题，他们也有一些解决的办法。当然直接计算的方法是不可取的。在小学生中，适当增加一点这方面的训练，是有好处的。

　　图60算式中，所有分母都是四位数。请在每个方格中各填入一个数字，使等式成立。

图60

　　[解法］本题中，三个分数的分母都是四位数、不能立刻看出结果，因此有必要将问题先简化一下。

　　我们知道，如果将三个分数的分母同时扩大或缩小相同的倍数，等式照样成立。这就启发我们一种化简的方法，使分母尽量变得简单。

　　自然的想法是将1988这个数做质因数分解。通过试除 知道1988的质因数分解为：

　　1988＝2×2×7×71。

　　这样，根据上面的分析，可以先用1988的约数来代替1998，试着找一组解，然后再将分母都乘以适当的倍数，检查一个是否都是四位数就行了

　　例如：1988的质因数分解中有的数4，很容易看出：

　　由于1988＝2×2×7×71=4×497，所以，将上面等式的两边均乘

　　这样就给出了一组适合条件的解。

　　再如，

　　1988＝2×2×7×71

　　=（2×7）×（2×71）

　　＝14×142

　　而且有

　　这就给出了另一组解。

　　[分析和讨论]我们在解题中只给出了二组不同的解，而且在找解时多少带有一点试探的意味。这是因为要限于小学教村的内容，而且也为了使同学们对如何简化问题的技巧有一点体会。

　　这道题有多少组不同的解呢？是不是还有更一般的方法？下面就来讨论。因为，要涉及到较深一点的知识，同学们如果现在看不懂，可以留到以后再看。

　　为叙述方便，个妨将问题重写出来设X，Y为两个四位数，并适合

　　问：X，Y各为多少？

　　-Y根据题意，Y是四们数，即 Y＞1000，由此可知：

　　0＜U＜988 （2）

　　和U代换（1）式中的Y，我们有

　　因此

　　亦即

　　XU=（1988-U）1988=19882-988U（5）

　　从（5）式可以得到

　　19882=XU＋1988U=（X＋1988）U （6）

　　也就是说，

　　其中，S为4位数，U是适合条件（2）的整数。

　　由于（7）式左方是整数，因此U必须是19882的因子。

　　更进一步，按题设X是四位数，亦即X≤9999。所以从（7）式可知

　　即

　　再结合（2）式，我们有

　　330＜U＜988 （10）

　　这样，整个问题就化为求19882中适合条件（10）的因数有多少个？

　　容易看出：1988有质因素分解

　　1988=22×7×71 （11）

　　因此，19882=24×72×712。其中有哪些因数适合条件（10）呢？经过检查可知有如下4个因素：

　　71×7， 71×23， 72×23，72 ×24

　　用这 4个数分别代入 （7）式和Y=1988-U，就可以得到四组解如下：（1） X=5964， Y=1491；

　　（Ⅱ）X＝4970，Y=1420；

　　（Ⅲ）X=8094，Y=1596；

　　（Ⅳ）X＝3053，Y＝1204。

　　最后，我们要给出解的一般公式，以供参考。

　　设X，Y，Z为三个自然数，适合

　　求X，Y，Z的一般形式

　　［解]由（12）式可知：

　　因此，X＞Z，Y＞Z，由此不妨设

　　X＝Z+U，Y=Z+V（14）

　　其中U＞0，V＞0.

　　将（14）式代入到（12）式中， 我们有

　　即（2Z＋U＋V）Z=（Z+U）（Z+V）=Z2＋ZU+ZV+UV （16）

　　化简后可得：

　　Z2=UV （17）

　　设U和V有最大公约数为T，则

　　U=U1·T，V=V1.T （18）

　　其中U1和V1互质。

　　将（16）式代入到（17）式中，可以得到

　　Z=Z1T （19）

　　而Z1，U1，V1适合方程

　　因为U1和V1互质，即只有公因数1，从（20）可知U1和V1均为平方数，也就说，一般解为

　　将（21）式代入到（14）式中，我们有一般解：

　　X=R（R＋S）T

　　Y＝S（R＋S）T （22）

　　Z=R·S·T

　　其中R，S，T均为自然数。

　　有兴趣的同学不妨用一般公式试试求本题的解。

【1987决赛第二试试题与解答】

　　有50名学生参加联欢会。第一个到会的女生同全部男生握过手，第二个到会的女生只差1个男生没握过手，三个到会的女生只差 2个男生没握手，如此等等，最后一个到会的女生同7个男生握过手，问这50名同学中有多少男生？

　　[解法]从题目中已经知道参加联欢会的男生和女生共有50名。因此，如果知道男生人数与女生人数的差，那么这50名同学中有多少男生就可以知道了。

　　为了使题目中的条件更容易分析，我们不妨将女生的顺序反过来，从后往前看。也就是说：最后一个到会的女生同7个男生握过手；倒数第二个到会的女生同8个男生握过手；倒数第三个到会的女生同9个男生握过手；如此等等，第一个到会（即倒数最后一个）的女生同全男生握过手，由此立刻可知，男生的人数比女生的人数多6个人，再通过简单的计算就可得到：男生的人数为28人。

　　答：这对50名同学中有28名男生。

　　[分析与讨论]这道题实际上也就是大家常说的年龄问题。

　　分子小于6而分母小于60的不可约真分数有多少个？

　　［解法]在解这道题时，首先要弄清“不可约真分数”的意思。当分数的分子与分母互质时，这个分数称为不可约分数；当分数的分子小于分母时，这个分数就称为真分数。

　　弄清了这些概念以后，剩下的问题就是用什么方法将符合题目条件的分数准确地找出来。也就是说，“数”的时候既不能重复又不能遗漏。

　　由于分子的取值范围是从1到5，明显地小于分母的取值范围，因此自然会想到对分子分别为1，2，3，4，5的情形逐一考虑。

　　当分子为1时，分母可从2到59，共有58个真分数，它们当然都是不可约分数。

　　由于2，3，5都是质数，因此当分子分别为2，3，5时，分母必须而且只须适合下列二个条件就可以了.

　　1）分母大于分子且小于60.

　　2）分母不是分子的倍数。

　　经过简单的计算（请同学们仔细算一算）。可以知道：

　　当分子为 2时，适合条件的分母有29个

　　当分子为3时，适合条件的分母有38个、

　　当分子为5时，适合条件的分母有44个

　　最后来看分子为4的情形。因为4不是质数，所以不能照搬上面的算法。也就是说，不能只将4的倍数去掉，应该去掉偶数。这样一来，分母就只有从5到59的奇数了，一共有28个。

　　总之，符合要求的分数共有

　　58+29＋38＋44＋28＝197（个）

　　答：分子小于6而分母小于60的不可约真分数共有197个。

　　[分析与讨论]这道题并不难，但容易算错。有不少同学的方法是对的，但算不清楚。例如：有的同学忘了“真分数”的条件，不管分子是几，分母都从1算起。还有不少同学在讨论分子为4的情形时，分母只去掉了4的倍数，而忘掉了2的倍数与4也不互质。

　　另外，还有少数同学直接讨论分母，当然就乱成一团了。

　　计算能力是数学的一项基本功，同学们应该从小就扎扎实实地打好基础。千万不能“眼高手低”。

　　己知五个数依次是13，12， 15， 25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数。请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个0（参看图61）？

　　[解法] 对一般的几个整数的乘积，如果要确定它后面有几个0. 可以用这样的办法：把每个乘数分解质因数，把分解中2的重数加起来，5的重数也加起来，看哪一个小，哪一个就是乘积尾部0的个数。这是因为10＝2×5，所以乘积尾部有个0，质因数2和5的重数就至少是几。

　　我们可以分别计算质因数2和5的重数。为此我们画两个图（图 62、图 63）：

　　图中的数字是这样填的：以2的重数为例，第一行第一个数13不含因数2，在这个位置填0，第二个数12含2重因数2（12=2×2×3），在这个位置填2，等等。下面各行各数都是肩上两数的和（因为乘积的因数2的重数等于各乘数的因数2的重数的和）。

　　这样我们就把图61中每个圈中数的质因数分解中的2的重数和5的重数分别标在图62和图63中了。特别地，最下面一个数的质因数分解中2的重数是10，5的重数是15，所以它尾部应该有10个0。

　　答：可以连续地数到10个0。

　　[分析与讨论]因为数字不太多，图62和图63的圈是逐个填上的。如果第一行的数再多几个的话；最好还是先找找各圈中数的规律。我们先看第二行。第二行第一个数是第一行第一、二个数的和，第二个数是第一行第二、三个数的和，等等。再看第三行。第三行第一个数是第二行第一、二个数的和，也就等于第一行第一个数加上第二个数的2倍再加第三个数。类似地，第三行第一个数等于第一行第一个数加第二个数的3倍加第三个数的3倍加第四个数。最后，最下面一个数等于第一行的数分别乘以1，4，6，4，1再加起来，如

　　0×1＋2×4＋0×6＋0×4＋2×1=10，

　　0×1＋0×4＋1×6＋2×4＋1×1＝15。

　　总之，在一般情况下，每个圈中的数可以这样得到：在第一行找出与这个圈有直线相连的两个圈、将这两个圈之间的圈（包括这两个圈）中的数分别乘以一个整数再加起来，所乘的整数见图64：

　　图中的乘数排列成一个三角形，这就是著名的“扬辉角”，其中的每个数部称为“组合数”。将来同学们在学习排列组合时，会知道杨辉三角有很多有趣的性质。参看华罗庚：《从杨辉三角谈起》。

　　用1分、2分和5分的硬币凑成一元钱、共有多少种不同的凑法？

　　【解法】为了找到简捷的解法，我们先将问题作一番分析。首先注意.要确定二种凑法是否相同，只要看二种凑法中所用的二分硬币的个数和五分硬币的个数是否分别相等就可以了。其次，用一分，二分和五分硬币凑成一元钱与用二分和五分硬币凑成不超过一元钱的凑法是一样的。最后，不难看出，二分硬币最多用50个，五分硬币最多用20个。

　　经过上面的分析，我们看到问题的提法可以改为：

　　有二分硬币50个，五分硬币20个。问：凑成不超过元钱的个同凑法有多少种？

　　这个问题的解法有很多，这坐我们将给出二种不同的解法。

　　【解法1】这是一种直接的解法。基本想法是按1五分硬币的个救将所有凑法分类。

　　假定五分硬币有20个，则没有二分硬币，因此只有一种凑法。假定五分硬币有19个，币值为5×19=95分，因此要使总币值不超过1元=100分，所取二分硬币的币值不能超过5分。很明显，二分硬币的个数可以为0个，1个，或2个，这样就有三种不同的凑法。如此继续下去，可以看出不同的凑法共有

　　1＋3＋6＋8＋11＋13＋……＋48+51

　　=（1＋48）＋（3＋46）＋（6＋43）＋……＋（23

　　+26）+51

　　=49×10+51

　　=541（种）

　　答：共有541种凑法。

　　【解法2】这是一种比较巧妙的简便算法。

　　将 50个二分硬币和20个五分硬币分成甲、乙二组。 因为这些硬币的总币值为 50×2+20×5=200（分）。所以甲、乙二组的币值无非是下面三种情形；

　　（1）甲组的钱比一元少，乙组的钱比1元多。

　　（2）甲组的钱比一元多，乙组的钱比1元少。

　　（3）甲、乙两组的钱相等，都是一元钱。

　　这里有两点要特别注意：第一，情形（1）与情形（2）是对称的，只不过甲和乙交换了位置。第二，（1）的所有可能性加上（3）的所有可能性就是我们的问题的答案。

　　那么（1），（3）的个数各有多少呢？

　　先计算一下上面的分组总共有多少不同的方法。因为二分硬币有50个，所以有51种分法。类似地，五分硬币有20个，所以有21种分法。这样总共就有21×51种不同的分法。

　　再来看甲，乙两组的钱都是一元这种情形的分法有多少种？很明显，这时五分硬币必须有偶数个（为什么？），所以五分硬币的数可以为0个，2个，……，20个，共有十一种分法。

　　根据情形（1）和情形（2）的对称性，容易知道（1）的个数为（21×51-11）÷2=530

　　（1）的个数加上（3）的个数是530+11=541（种）这就是答案。

　　【分析与讨论】这是一道思考与计算相结合的题。用解法1来做的同学比较多。但大部份同学都没有算对，也许是“数”不清楚吧。学会“数”数是数学原基本的功夫，可不能马虎。提高你的“数”数能力，不妨换个方法试试。

　　解法2避免了较多的计算，但不容易想到。建议同学们仔细想清楚，或许能从中得到一点启示。有的同学在答卷上写了一个方程式

　　X+2Y-5Z=100.

　　X、Y、Z分别为一分，二分和五分硬币的个数。这个方程式当然是对的，但怎样解？答卷上找不到下文。解法二实际上是上述方程的一种解法。

　　有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送。第一班的学生坐车从学校出发的同时，第二班学生开始步行；车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直接开往少年宫。学生步行速度为每小时4公里，载学生时车速每小时40公里，空车每小时50公里。问：要使两班学生同时到达少年宫，第一班学生步行了全程的几分之几？（学生上下车时间不计）

　　【解法】首先注意，由于两个班的同学都是一段路步行一段路乘车，而乘车的速度比步行快，中间又没有停留，因此要同时到达少年宫，两个班的同学步行的路程一定要一样长。

　　我们画一个图（见图书65）来分析。图中A是学校，B是少年宫，C是第一班学生下车的地点，D是第二班学生上车的地点。由上所述AD和CB一样长。设第一班同学下车时，第二班同学走到E处。由于载学生时车速为每小时40公里，而步行的速度为每小时4公里，是车速的1/10，因而AE是AC的1/10。在第一班学生下车后，汽车从C处迎着第二班学生开，车速是每小时50公里，而第二班学生从E处以每小时4公里的速度向前走，汽车和第二班学生在D点相遇。这是普通的行程问题，不难算出

　　最后，由于AD=CB， A D就是A B的

　　【分析与讨论】这道题比普通行程问题略为复杂一些，有不少同学做出来了，而且方法也很多。有兴趣的同学可以想想其它的解法，如列方程的方法，并比较一下各种解法的不同。

　　下面是两个1989位整数相乘：

　　问：乘积的各位数字之和是多少？

　　【解】首先注意1989是9的倍数。由9的倍数的判定法则，我们知道

　　事实上，1989=221×9，111111111=12345679×9。

　　因此

　　=1234567901234…01234156 ×（101989-1）

　　如果把最末一个1并到箭头所指的8上去，我们就得到221个12345679和221个98765432。所以各位数字的和是221×81=17，901。

　　答：乘积的各位数字的和是17，901。

【决赛面试试题与解答】

图66

　　图66是一个对称的图形。黑色部分面积大还是阴影部分面积大？

　　【解法】因为是对称图形、四个小圆半径相等，且恰好是大园半径的一

　　等于大圆面积。

　　阴影部分是四个小圆相重迭的部分，而黑色则是由于重迭而空余出来的部分，所以这两部分面积相等。

　　答：一样大。

　　你能不能将自然数1到9分别填入图67的方格中，使得每个横行中的三个数之和都是偶数？

　　【解法】 9个自然数中有5个奇数，所以这9个数字之和一定是奇数。如果每一行3个数的和都是偶数，那么9个数之和便是偶数，这是不可能的。

　　答：不可能。

　　司机开车按顺序到五个车站接学生到学校（图68）。每个站都有学生上车。第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半。车到学校时，车上最少有多少学生？

　　【解法】因为每个站都有学生上车，所以第五站至少有1个学生上车。假如第五站只有一个学生上车，那么第四、三、二、一站上车的人数分别是2，4，8，16个。因此五个站上车的人数共有

　　1＋2＋4＋8＋16=31（人）

　　很明显，如果第五站有不止一个学生上车，那么上车的总人数一定多于31个.

　　答：最少有31个学生。

　　图69中五个正方形的边长分别是1米、2米、3米、4米、5米。问：白色部分面积与阴影部分面积之比是多少？

　　【解法1】先分别算出这两部分的面积。根据正方形面积公式，白色部分的面积是

　　（22-12）＋（42-32）=10平方米

　　阴影部分面积是大正方形面积减去白色部分面积，即等于

　　52-10＝15平方米。

　　因此白色部分与阴影部分面积之比是10∶15，

　　即2∶3。

　　答：2∶3。

　　【解法2】我们先来看看怎样计算每个方框的面积。以最外面的方框为例；如囹70所示，按虚线将方框剪开、再拼成两个宽的1米，长分别为4米和5米的矩形。可见方框的面积等于4+5（平方米）。

　　按这个方法，可知阴影部分的面积是

　　1＋2＋3＋4+5=15（平方米）

　　而白色部分的面积是

　　1+2+3+4=10（平方米）

　　所以白色部分和阴影部分的面积比是10∶15＝2∶3

　　【分析与讨论】计算方框面积的方法很多。由于本题方框个数少，各种计算方法差别不大。如果方框多一些，解法2就有明显的优越性了。

　　用1、2、3、4、5这五个数两两相乘。可以得到10个不同的乘积。问乘积中是偶数多还是奇数多？

　　【解法】如果二个整数乘积是奇数，那么这二个整数都必须是奇数。五个数中有三个奇数，这三个奇数两两相乘，只有3个乘积，也就是说总共只有3个奇数。而偶数的乘积有 10-3=7个，因此偶数多。

　　答：乘积中偶数比奇数多。

　　1÷（2÷3）÷（3÷4）÷（4÷5）÷（5÷6）＝？

　　【解法】如果去掉括号，第一个3前面变为×号，第二个3前面仍为÷号，所似3可以约掉。同样， 4和5都可以约掉，只剩下

　　1÷2×6=3

　　答：原式=3。

　　【分析与讨论】本题是抢答题，要求四则运算熟练准确。如果列出算式计算便嫌太慢了，必须用心算很快算出来。

　　将右边的硬纸片沿虚线折起来。便可作成一个正方体。问：这个正方体的2又号面对面是几号面？

　　【解法1】正方体中，相对的两个面个能有公共顶。给出的硬纸片中，1、3、4、5号面都与2号面有公共顶点，只有6号面与2号而没有公共顶点，所以2号面的对面是6号面。

　　【解法2】这道题的目的是检查同学们对简单的空间图形的想象力。在下面的解法中、请同学们注意空间图形面展开图之间的联系。

　　我们先来看一个简单的情形（图72）。

　　左图是平面展开图，而右图是立体图。对于这个圆形，很容易看出：1、2、4、6这四个面围成立方体的四个侧面，3号面为顶面，5号面为底面。因此，1号面的对面是4号面；2号面的对面是6号面； 3号面的对面是5号面。

　　我们现在换一个方式将立方体拆开，看新的平面展开图是什么形状？例如：将4号面与6号面的公共边剪开，将6号面与5号面粘上，这样，平面展开图就成了图71。

　　也就是说：图71和图72只不过同一个立方体的不同平面展开图而已，因此，图71中2号面的对面是6号面。顺便说一句，我们也同时知道了1号面，3号面的对面分别是4号面和5号面。

　　答：2号面的对面是6号面。

　　【分析与讨论】空间图形的想象力是数学的基本功之一。如果同学们对这个问题有点生疏的话，不妨自己动手用硬纸片做一个立方体。然后再用不同的方法展开成平面图。

　　为了帮助大家加深理解，我们再出一道思考题，有兴趣的同学可以想一想。

　　【思考题】图73的两块纸板能不能折成正方体盒子？ 如果能，请指出每个面的对面是哪一个面；如果不能，请说明原因。

　　下面是一个11 位数，它的每三个相邻数字之和都是20。如你知道打“？”的数字是几？

　　【解法】因为每相邻3位数字之和为20，从左数起第一位数字9与第二、三位数字之和为20，第二、三位数字与第四位数字之和也走20，所以第四位数字是9。这样，我们便找到一条规律：每隔2位必出现相同的数字！

　　现在从最末一位数字7开始，每隔2位跳一次，正好跳到打“？”处、所以打“？”的数字应该是7.

　　答：打“？”的数字是7。

　　有八张卡片。上面分别写着自然数1到8（图74）。从中取出三张，要使这三张卡片上的数字之和为9。问有多少种不同的取法？

　　【解法】先确定三张卡片中数字最大的卡片。

　　8、 7都不用考虑，因为最小的两张卡片（1和2）相加都超过9。

　　最大数字为6时，与之搭配的只有1和2；

　　最大数字为5时，与之搭配的只有1和3；

　　最大数字为4时，与之搭配的只有2和3；

　　如果最大数字不超过3，三张卡片数字之和小于9。

所以，只有3种不同的取法。

答：有3种不同的取法。