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8．下图中有6个点，9条线段．一只甲虫从A点出发，要沿着某几条线段爬到F点。行进中，同一个点或同一条线段只能经过1次。这只甲虫最多有多少种不同的走法？
〔分析〕可以用分类的思想解这个题：甲虫由A出发只有3种走法，即先走AB；先走AE；先走AD。
往下，再作类似的分析，即可求解。
〔解〕从A点出发，经过的第一条线段，有3种可能（1）AB；（2）AE；（3）AD。
在每一种可能情形下，各有3种走法。所以，一共有3×3＝9种走法．
答：共有9种走法。
〔注〕这个题目已经简化了，原来出的题要复杂一些：仍是6个点，但是多了两条线段（如图）。
请少年朋友自己做吧。
9．下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形。在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？
〔分析〕解决这个问题，主要是运用两个结论：
（1）同底等高的两个三角形的面积相等。
（2）平行的两条直线间的距离处处相等。
〔解〕设原正方形的边长是3，则小正方形的边长是1，阴影三角形的面积是
所求的三角形可分两种情形：
（1）三角形的一边长2，这边上的高是3。这时，长为2的边只能在原正方形的边上，这样的三角形有
2×4×4=32（个）；
（2）三角形的一边长3，这边上的高是2，这时，长为3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线。其中，与（1）重复的三角形不再算入，这样的三角形有
8×2=16（个）
答：所求的三角形共48个（包括图中开始给出的三角形）．
〔注〕解这个题目，容易出现两种错误，一是“少”：如忽略了底是3、高是2的三角形，这样就少了16个；二是“多”：在计算底是3、高是2的三角形时，没有考虑其中有16个在情形（1）中已经计算了，于是得出错误结果：54．
10．已知：
求：S的整数部分。
〔分析〕这个题目看起来是不好下手的，显然不能对分母中的12个分数进行通分求和，那实在是太繁了。
由于题目只要求S的整数部分，所以只要知道S在哪两个整数之间就可以了。困难在于S的分母含有12个分数，太多了！必须设法减少分数的个数！
我们发现：
之间，于是，达到了目的！
〔解〕根据“一个分数，当分子不变而分母变大时，分数值变小；如果分子不变而分母变小时，分数值变大。”这个原理，可以知道
∴S的整数部分是165。
〔思考〕上面的解法中，主要是运用了“放”、“缩”的思想，这个思想很有用。本题中是用来进行数值估计。下面是两个类似的题，读者自己练习：
（2）请在下面等式的方框中填上相同的一个自然数，使等式成立：
11．今年，祖父的年龄是小明的年龄的6倍。几年后，祖父的年龄将是小明的年龄的5倍。又过几年以后，祖父的年龄将是小明的年龄的4倍。求：祖父今年是多少岁？
〔分析〕当小明刚一出生、祖父与他就有了年龄差，随着祖孙两人年龄的增长，祖父与小明的年龄的比值逐渐变小，但年龄差始终保持不变，这是一。
说“祖父的年龄是小明的年龄的a倍”，实际就是说“祖父与小明的年龄差是小明年龄的（a-1）倍”，因为小明的年龄是自然数，所以也就是说“祖父的年龄是a-1的倍数”，这是二．只要把握住以上这两点，这个题目就可以迎刃而解了．
〔解〕祖父的年龄比小明的年龄大，这个年龄差是不变的．
∵今年，祖父的年龄是小明的年龄的6倍，
∴年龄差是小明年龄的5倍，一定是5的倍数，
同理，由
“几年后，祖父的年龄是小明的年龄的5倍”，
“又过几年以后，祖父的年龄是小明的年龄的4倍”，知道年龄差是4，3的倍数，所以，一定是
5×4×3=60
的倍数．而60的倍数是：60，120，…，合理的选择是60．于是，今年
小明的年龄是60÷5=12（岁）
祖父的年龄是12×6=72（岁）
答：祖父今年是72岁。
〔思考〕会代数的少年朋友，可以用列方程或方程组的方法解这个题目：
设今年小明x岁，那么今年祖父6x岁。
y年后，祖父的年龄是小明的年龄的5倍，所以
5（x＋y）=6x＋y即x=4y
又过z年以后，祖父的年龄是小明的年龄的4倍，所以
4（x＋y＋z）=6x＋y＋z 即 2x=3y＋3z
∵祖父今年6x岁，
∴ 6x≤100（想一想：这个100是怎么来的？）
又∵x=4y
∴x≥4（想一想：为什么？）
12．某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：
求这个班的学生数．
〔分析〕这是一个与集合概念有关的问题，但是完全可以用小学数学知识来解决，其中，主要是包含与排除的方法．例如
短跑达到优秀的人数中，包含了4部分人：
短跑、游泳、篮球都达到优秀的人，
短跑、游泳达到优秀但篮球没达到优秀的人，
短跑、篮球达到优秀但游泳没达到优秀的人，
短跑达到优秀但游泳、篮球没达到优秀的人。
如果要求其中一部分人，就要排除另外几部分人。
明白了上面的道理，题目就不难求解。
在具体求解时，可以运用图形，使题目中的数量关系变得直观，一目了然．
〔解〕先求至少有一个项目达到优秀的学生人数，看下面这个图：
图中时三个圆圈分别代表短跑、游泳、篮球达到优秀的学生人数，其中的
“1”表示三个项目都优秀的人数，是：2；
“2”表示篮球、游泳达到优秀，但短跑没有达到优秀的人数，是：6-2=4；
“3”表示篮球、短跑达到优秀，但游泳没有达到优秀的人数，是：5-2＝3；
“4”表示游泳、短跑达到优秀，但篮球没有达到优秀的学生数，是：6-2=4；
“5”表示只有短跑一项达到优秀的人数，是：
17-（2＋3＋4）=8；
“6”表示只有游泳一项达到优秀的人数，是：
18-（2＋4＋4）=8；
“7”表示只有篮球一项达到优秀的人数，是：
15-（2＋4＋3）=6，
∴只有一个项目达到优秀的人数是
2＋4＋3＋4＋8＋8＋6=35
还有4个人在三个项目上未达到优秀，所以全班学生数是35+4=39
答：这个班有39名学生。
〔注〕集合，是很有用的数学概念。它的一个用途就是分类。在上面的解法中，我们正是运用分类的思想将“至少有一个项目达到优秀”学生人数分为7类，从而求出了正确结果．在作分类时，应注意使任意两类没有相同的部分。
13．恰好能被6、7、8、9整除的五位数有多少个？
〔分析〕能被6、7、8、9整除，只须能被它们的最小公倍数整除，求出这个最小公倍数之后，在五位数中，即从10000到99999的自然数中，推算那个最小公倍数的倍数有多少个，即是问题的答案了。
〔解〕6、 7、 8、 9的最小公倍数是504；
五位数中，最小的是10000，最大的是99999；
∴能被504整除的最小的五位数是
504×20=10080；
∴能被504整除的最大的五位数是
504×198=99792；
∴五位数中，能被504整除的有
（99792-10080）÷504＋1=179（个）．
答：有179个．
〔注〕解这个题目时，容易出现的错误是：以为“能被6、7、8、9整除”就必须“能被6×7×8×9=3024整除”，这样求得的结果只是正确结果的一部分。
14．计算：1-3+5-7＋9-11+…-1999+2001
〔分析〕对于这个题目，可以有3种基本思路：
（1）将题中各数的顺序变动一下，即：从第二个数开始，相邻两数交换位置，得到
1＋5-3+9-7+13－11+…＋2001-1999
可以看出在1这个数的后面是500个2的和。
（2）将加上的数，减去的数分别集中：
（1＋5+9+13＋…＋2001）-（3+7＋11＋…+1999）
（3）从代数的角度来看，原式是
（1-3）＋（5-7）+（9-11）＋…＋（1997-1999）＋2001
＝-2×500+2001＝1001
〔解〕：原式=1+（5-3）＋（9-7）+（13-11）＋…＋（2001-1999）。
从1到2001共有1001个奇数，1不在内，则有1000个奇数，上面的每个括号内都是“相邻奇数，大减小”，所以，共有500个括号，每个括号内的值都是2，所以
原式=1＋500×2=1001
15．五环图由内圆直径为8，外圆直径为10的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等．已知五个圆环盖住的总面积是112．5，求每个小曲边四边形的面积（圆周率π取3．14）。
〔分析〕这是关于整体与部分的关系的问题。我们将五个圆环彼此不相交时盖住的面积看作整体，那么现在这个图中的五环盖住的面积就是这个整体的较大的部分，而8个小曲边四边形盖住的面积就是这个整体的较小的部分，这两个部分的和就是整体。只要认识到这个关系，就很容易求解了．
〔解〕每个圆环的面积是
π（52-42）=9π，
如果五个圆环彼此没有重合的部分，则它们的总面积是
5×9π=45π
∵题设五环盖住的总面积是122．5
∴每个小曲边四边形的面积是
答：每个小曲边四边形的面积是1．1。
〔注〕题中的五环图是大家熟悉的奥林匹克运动会的标志。“奥林匹克”已经成了“在公正的条件下竞争”的代名词，华罗庚金杯少年数学邀请赛，就是奥林匹克智力运动会，她吸引了数百万少年数学爱好者。我们编这么一个小小的题目，正是为了表明这样一个意愿：要在“华杯赛”中永远弘扬奥林匹克精神，鼓励我国千百万的少年以华罗庚爷爷为榜样，以坚强的毅力，在攀登科学的道路上，永远奋进。
16．下图中8个顶点处标注的数字：a、b、c、d、e、f、g、h，
求：（a＋b+c+d）-（e+f＋g＋h）的值。
〔分析〕式子（a＋b＋c+d）-（e＋f＋g＋h）中没有一个具体的数，而且只含有加减运算，在题设的条件下，如果这个式于有值的话，这个值一定是零。
〔解〕：由题设条件知道
（1）＋（2）＋（3）+（4），是
2（a＋b＋c＋d）＋（e+f＋g＋h）=3（a＋b＋c＋d）
就是e+f＋g＋h=a＋b＋c＋d
∴所求的值是0。
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