|
华校入学考题一道：最大公约数
[题目]：请写出两个数，它们约数个数之和恰好是它们的最大公约数。
[分析与解]要硬凑出两个数出来我想多花一点时间是可以解决这个问题的，但如果要你给出五六组或尽量多的符合要求的数组，硬凑是绝对行不通的，我们得找出一个比较通用的方法。还是先用一下我们学过的知识。
可以设这两个数分别为A与B ，它们的最大公约数为C，这样A就可以写成：A=C×x1a1x2a2x3a3…… , 这是A这个数除了最大公约数C以外的分解质因数的形式,B也同样可以写成B=C×y1b1 y2b2y3b3…… ,根据它们的约数个数之和恰好是它们的最大公约数可得:C的约数个数×(a1+1)×(a2+1)×(a3+1)… + C的约数个数×(b1+1)×(b2+1)×(b3+1)… =C
根据乘法分配律提取公因数,可得:
C的约数个数×[(a1+1)×(a2+1)×(a3+1)…+ (b1+1)×(b2+1)×(b3+1)…]=C （1式）
显而易见: C必须是C的约数个数的倍数.到底是几倍呢?实际就是A,B这两个数除C以外的约数个数之和.
得到上面这个结论,我们就能很方便地构造这样的数,先必须找出符合要求的最大公约数,可以从非0自然数中按顺序逐个找,C为1不行,2不行,因为当两个数相同时中括号内至少得为2,两个数不同时中括号中至少得为3,3的约数个数为2,3不是2的倍数,不符要求……同理发现4,5,6,7都不符要求,上面这个找的过程其实很快,稍作思考就行了.
接着是8这个数,它有1,2,4,8共4个数约数,8是它约数个数4的2倍,也就是中括号中两个因式分别为1,则A,B这两个数除C外的质因数的指数都为零。可见我们求得的第一组是两个相同的数为（8，8）。
然后看9这个数，它是完全平方数，有1，3，9共3个约数，9是3的3倍，因此1式只能写成：3×（1+2）=9，这样的形式，令(a1+1)×(a2+1)×(a3+1)……等于1，则a1、 a2 、a2…只能为0，也就是其中一个数除C以外没有质因数，那其中一个数就是9，令(b1+1)×(b2+1)×(b3+1)……等于2，则b1、 b2、 b3……中只能有一个为1其余为0，也就是要找的另一个数除C以外还有一个不同的质因数，并且质因数的指数为1，那我们可以让这个质因数为2，5，7，……除3以外的任一个质数，这个数可以是9×2，9×5，9×7……因此这一类中两个数一个是9，另一个是18，45，63……可以得无数组解。9的约数个数是3，而18，45，63……这些数的约数个数都是6，加起来正好是它们的最大公约数9，经检验符合要求。
看到这里，你能理解我说的意思吗？其实要想理解它，你必须先掌握，约数，倍数，分解质因数，指数，合数的约数个数与它所含质因数指数之间的关系等等知识。
如果能看懂的话，按照上面的方法，我们可以接着找到（12，12），（18，90）（18，18×7）（18，18×11）……共有无数类，除了两个数相同这一类只有一组，其它每类都有无数组，因为质数的个数无限。
由于题目对两个数是否相同没有要求，但为保险起见，写出两个数，你就写两个不同的数。
作者：马到成功老师
不考不足以发现问题
|
